Mata Pelajaran        : Matematika

Kelas/ Semester      : X / Gasal

Materi                      : Barisan dan Deret Geometri

Alokasi Waktu         : 4 JP x 45 Menit (4 Pertemuan )

Tahun Pelajaran      : 2025/ 2026

Minat:

Murid yang berminat untuk menghitung pertumbuhan bakteri atau panjang lintasan bola yang memantul

Latar Belakang:

Materi ini relevan dengan kehidupan sehari-hari (misalnya, pertumbuhan bakteri, peluruhan zat, perhitungan lintasan bola), ilmu pengetahuan dan teknologi, serta sebagai konsep dasar penting dalam matematika yang sering diuji dalam ujian dan penerimaan perguruan tinggi, sehingga pemahaman yang baik sangat diperlukan untuk menyelesaikan berbagai jenis masalah dan prediksi.

Kebutuhan Belajar:

Pemahaman konsep, kemampuan menghitung suku ke-n dan jumlah deret, serta aplikasi dalam masalah kontekstual seperti pertumbuhan bakteri, perhitungan populasi, atau investasi melalui contoh nyata seperti panjang lintasan bola yang dijatuhkan atau perkembangan bisnis. Mereka perlu mampu mengenali pola dari suatu barisan, menemukan rasio, dan menyelesaikan permasalahan dunia nyata yang berkaitan dengan pola pertumbuhan atau penyusutan yang mengikuti rasio tertentu.

1. Faktual:definisi dasar, yaitu barisan geometri sebagai barisan bilangan dengan perbandingan (rasio) tetap antar suku, dan deret geometri sebagai penjumlahan suku-suku dalam barisan tersebut. Selain itu, pengetahuan faktual juga mencakup klasifikasi deret geometri tak hingga menjadi konvergen (jumlahnya memiliki nilai pasti) dan divergen (jumlahnya tidak memiliki nilai pasti).
2. Konseptual:pemahaman tentang definisi, ciri-ciri, dan perbedaan antara barisan dan deret geometri, serta konsep-konsep kunci seperti suku pertama (a), rasio (r), konvergen, dan divergen. Pengetahuan ini juga mencakup pemahaman tentang bagaimana rumus barisan dan deret geometri bekerja untuk menghitung suku ke-n dan jumlah n suku pertama, serta bagaimana penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.
3. Prosedural:pemahaman konsep dasar, penerapan rumus, dan teknik pemecahan masalah. Pengetahuan prosedural ini mencakup: mengidentifikasi rasio dan suku pertama, menghitung suku ke-n, menghitung jumlah n suku pertama, serta menganalisis deret geometri tak hingga (konvergen dan divergen).
4. Metakognitif:pengetahuan deklaratif (tentang rumus dan konsep), pengetahuan prosedural    (tentang cara menerapkan rumus), dan pengetahuan kondisional (tentang kapan dan mengapa strategi tertentu digunakan). Ini memungkinkan seseorang tidak hanya memahami barisan dan deret geometri tetapi juga memantau, mengevaluasi, dan mengendalikan proses berpikirnya saat memecahkan masalah.Relevansi dengan Kehidupan Nyata Murid: Dapat digunakan untuk menganalisis dan memprediksi pola pertumbuhan atau peluruhan yang konstan, seperti pembelahan bakteri, peluruhan radioaktif, atau pergerakan harga investasi dan bola jatuh. Selain itu, pemahaman konsep ini penting untuk melatih berpikir kritis dan kemampuan memecahkan masalah dalam konteks dunia kerja di masa depanTingkat Kesulitan:Kesulitan memahami konsep dasar barisan dan deret, membedakan keduanya, mencari rasio, dan menerapkan rumus deret geometri tak hingga. Kesulitan ini umum dialami oleh siswa dengan kemampuan matematika rendah hingga sedang karena perlu pemahaman mendalam tentang rasio dan aplikasi rumus, yang membutuhkan bimbingan kreatif dari guru.Struktur Materi:Pengertian barisan geometri (urutan bilangan dengan rasio tetap), rumus suku ke-n (Un = a * r^(n-1)), pengertian deret geometri (penjumlahan suku barisan geometri), rumus jumlah n suku pertama (Sn = a(1-r^n)/(1-r) atau Sn = a(r^n-1)/(r-1)), dan rumus jumlah deret geometri tak hingga (S∞ = a/(1-r) jika |r| < 1), serta klasifikasi deret tak hingga menjadi konvergen dan divergen berdasarkan nilai rasio.Integrasi Nilai dan Karakter:Menumbuhkan Kedisiplinan:Murid dapat belajar kedisiplinan dengan mengikuti setiap langkah dalam barisan dan deret geometri, karena terdapat pola yang harus diikuti secara teliti untuk mendapatkan hasil yang akurat.Mengembangkan Ketelitian:Penerapan rumus dalam barisan dan deret geometri menuntut ketelitian dalam memasukkan angka dan menghitungnya. Kesalahan kecil dalam perhitungan bisa menyebabkan hasil yang berbeda, sehingga murid  terlatih untuk lebih teliti dalam setiap prosesnya.Membangun Ketekunan:Memecahkan masalah barisan dan deret geometri yang kompleks membutuhkan waktu dan usaha. Murid yang tekun akan terus mencoba hingga menemukan solusi yang tepat, menanamkan karakter pantang menyerah dalam dirinya.Memahami Konsep Pertumbuhan dan Peluruhan:Konsep barisan dan deret geometri dapat diilustrasikan dengan contoh seperti pertumbuhan bakteri atau peluruhan radioaktif. Nilai-nilai seperti kesadaran akan dampak lingkungan dan konservasi sumber daya dapat ditanamkan melalui diskusi tentang fenomena ini.Mengaplikasikan Konsep dalam Kehidupan Nyata:Barisan dan deret geometri memiliki aplikasi di banyak bidang, seperti keuangan (bunga berbunga), pertumbuhan populasi, dan penyebaran penyakit. Menjelaskan aplikasi ini akan membuat siswa melihat matematika sebagai alat untuk memahami dunia dan membuat keputusan yang lebih baik.

1. Penalaran Kritis:Mampu menganalisis data dan informasi terkait barisan dan deret geometri menggunakan konsep-konsep matematika, serta mengevaluasi argumen dan solusi yang diusulkan.
2. Kreativitas:Mampu merancang ide-ide inovatif atau solusi sederhana barisan dan deret geometri
3. Kolaborasi:Berinteraksi dan bekerja sama dengan anggota kelompok dalam melakukan analisis data, eksperimen, dan proyek.
4. Kemandirian:Menunjukkan inisiatif dalam mencari informasi ilmiah, melakukan penyelidikan, dan merumuskan gagasan solusi.
5. Komunikasi:Mampu menjelaskan barisan dan deret geometri dan penerapannya, serta mengkomunikasikan dampak dan solusi kepada audiens yang beragam.

1. Cinta kepada Allah Swt. dan Rasulullah SAW (Hubbullah & Hubburrasul)
2. Cinta kepada Diri Sendiri dan Sesama (Hubbunnafs & Hubbunnaas
3. Cinta kepada Lingkungan Hidup (Hubbulbiah)

Peserta didik dapat menerapkan barisan dan deret geometri, termasuk masalah yang terkait bunga tunggal dan bunga majemuk.

LINTAS DISIPLIN ILMU YANG RELEVAN

Ekonomi dan Keuangan:

Konsep barisan dan deret geometri digunakan untuk menghitung pertumbuhan investasi, bunga majemuk pada pinjaman atau tabungan, serta analisis keuangan lainnya.

Biologi:

Dalam biologi, barisan geometri dapat digunakan untuk memodelkan pertumbuhan populasi bakteri atau mikroorganisme yang berkembang biak dengan cara membelah diri secara eksponensial.

Fisika:

• Peluruhan:Deret geometri dapat digunakan untuk memodelkan peluruhan zat radioaktif, di mana jumlah zat berkurang secara tetap.
• Gerak Benda:Contohnya, barisan geometri bisa digunakan untuk menghitung total lintasan bola yang memantul dari ketinggian tertentu hingga akhirnya berhenti.
• Gelombang:Konsep pemantulan gelombang juga dapat dimodelkan dengan deret geometri.

Teknologi dan Otomasi:

Dalam bidang teknologi, barisan dan deret geometri dapat relevan untuk menganalisis pertumbuhan data atau dalam sistem otomatisasi yang melibatkan proses berulang dengan rasio tertentu.

Arsitektur dan Desain:

Konsep seperti rasio emas yang merupakan bagian dari deret geometri sering diterapkan dalam prinsip desain dan arsitektur.

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Menentukan suku ke-ndan rasio dari barisan geometri.
2. Menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep barisan aritmetika dan barisan geomMenentukan jumlah suku ke-n dari deret aritmetika dan deret geometri.
3. Menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep  deret geometri.
4. Menentukan jumlah suku dari deret geometri tak hingga.
5. Menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep deret geometri tak hingga.TOPIK PEMBELAJARAN KONTEKSTUALPertumbuhan populasi mikroorganisme, penyusutan suatu benda, proyeksi keuntungan atau kerugian usaha, perhitungan bunga majemuk, atau desain pola geometris. Melalui topik-topik ini, murid dapat mengamati, menganalisis, dan memecahkan masalah yang relevan dengan konsep matematika barisan dan deret geometri secara lebih mendalam.KERANGKA PEMBELAJARANPRAKTIK PEDAGOGIK
   1. Pengenalan Konsep:

   Mulai dengan menjelaskan definisi barisan geometri dan deret geometri.

   2. Contoh Konkret:

   Gunakan contoh nyata seperti contoh bakteri yang membelah diri atau bola yang memantul untuk memvisualisasikan konsep.

   3. Rumus-rumus Penting:

   Jelaskan rumus rasio (r), rumus suku ke-n (Un), dan rumus jumlah n suku pertama (Sn).

   4. Latihan Soal:

   Berikan soal latihan untuk menguji pemahaman murid, seperti menentukan suku ke-10 atau menjumlahkan 5 suku pertama dari suatu barisan.

   5. Diskusi dan Tanya Jawab:

   Berikan kesempatan kepadamurid untuk bertanya dan berdiskusi mengenai materi yang belum dipahami.

   6. Aplikasi Lebih Lanjut:

   Tunjukkan bagaimana konsep ini dapat diterapkan dalam bidang ekonomi, seperti perhitungan bunga majemuk.

   MITRA PEMBELAJARAN

   1. Platform Pendidikan Online:

   Situs seperti Quipper dan Aku Pintar menyediakan artikel, video, dan latihan soal tentang barisan dan deret geometri untuk membantu Anda memahami konsepnya.

   2. Situs Penyedia Artikel Pendidikan:

   Gramedia.com memiliki penjelasan lengkap mengenai barisan dan deret geometri, termasuk definisi, rumus, contoh soal, dan latihan soal, sehingga bisa menjadi mitra belajar yang baik.

   3. Sumber Belajar Visual:

   Video pembelajaran di platform seperti Vidio dapat membantu Anda memahami pola bilangan dan konsep barisan serta deret geometri secara visual.

   4. Sumber Informasi Umum:

   Buku-buku pelajaran dan ensiklopedia online seperti Wikipedia juga bisa menjadi referensi tambahan untuk memperdalam pemahaman Anda.

   LINGKUNGAN BELAJAR

   Materi matematika yang mempelajari pola bilangan, dimana rasio (pengali) antar suku selalu sama. Materi ini meliputi pengertian barisan dan deret geometri, penggunaan rumus untuk mencari suku ke-n dan jumlah n suku, serta penerapannya dalam kehidupan sehari-hari, seperti pada pertumbuhan bakteri atau pantulan bola.

   PEMANFAATAN DIGITAL

   • Penggunaan situs web edukasi, aplikasi matematika, dan platform pembelajaran online yang menyediakan materi interaktif seperti simulasi, video penjelasan, kuis, dan soal latihan yang membantu pemahaman konsep, perhitungan, dan aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari seperti pertumbuhan bakteri atau perhitungan bunga pinjaman.

• Doa; absensi; menyampaikan tujuanpembelajaran; dan menyampaikan penilaian hasil pembelajaran
• Memotivasimurid untuk tercapainya kompetensi dan karakter yang sesuai dengan Profil Pelajar Pancasila; yaitu 1) beriman, bertakwa kepada Tuhan Yang Maha Esa, dan berakhlak mulia, 2) mandiri, 3) bernalar kritis, 4) kreatif, 5) bergotong royong, dan 6) berkebinekaan global, yang merupakan salah satu kriteria standar kelulusandalam satuan pendidikan.KEGIATAN INTI (80 Menit)Dalam  mempelajari barisan geometri diawali dengan mengajak murid melakukan eksplorasiEksplorasi  Melipat Kertas Pada bagian ini,murid diminta melakukan eksplorasi yaitu melipat kertas dan  menentukan banyak bagian sama besar yang terbentuk dari lipatan kertas tersebut seperti yang tampak pada Gambar 2.1 Selanjutnya siswa diminta untuk mengisi Tabel 2.2Tabel Jumlah Lipatan Kertas dan Bagian Sama Besar yang Terbentuk
  

  Jumlah melipat kertas	1 kali	2 kali	3 kali	4 kali
  Banyaknya bagian sama besar yang terbentuk	2 bagian	4 bagian	8 bagian	16 bagian

  Pada bagian ini, guru dapat meminta murid menampilkan jawaban pada tabel dan menunjukkan hasil lipatan pada kertas.

  • Muriddiminta untuk menentukan jumlah bakteri setelah membelah selama 20 jam. Beri kesempatan kepada murid untuk menjawab dengan cara mereka sendiri.
  • Setelah itu, muriddiajak menjawab pertanyaan berikut untuk membangun pemahaman mengenai rumus menentukan suku ke-n barisan geometri.
  • Suku pertama pada permasalahan di atas adalah 2
  • Tiap dua jam, membelah menjadi 3, maka rasio pada barisan di atas adalah 3

  Dalam 20 jam, terjadi pembelahan sebanyak 20 jam : 2 jam = 10 kali → n = 10.

  U₁₀ = …

  U₁ = 2

  U₂ = 2 × 3 (2 dikali 3 sebanyak 1 kali) = 2 × 3¹

  U₃ = 2 × 3 × 3 (2 dikali 3 sebanyak 2 kali) = 2 × 3²

  U₄ = 2 × 3 × 3 × 3 (2 dikali 3 sebanyak 3 kali) = 2 × 3³

  U₅ = 2 × 3 × 3 × 3 × 3 (2 dikali 3 sebanyak 4 kali) = 2 × 3⁴

  U₁₀ = 2 dikali 3 sebanyak 9 kali

  U₁₀ = 2 × 3⁹

  • Setelahmendapatkan jumlah bakteri setelah pembelahan selama 20 jam, maka murid diajak menyimpulkan rumus menentukan suku ke-n pada barisan geometri

  adalah Un = a .r^{n – 1}

  KEGIATAN PENUTUP (5 Menit)

  • Muriddan guru menyimpulkan pembelajaran hari ini.
  • Refleksi pencapaian murid/formatif asesmen, dan refleksi guru untuk mengetahui ketercapaian proses pembelajaran dan perbaikan.
  • Menginformasikan kegiatan pembelajaran yang akan dilakukan pada pertemuan berikutnya.
  • Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan dan motivasi tetap semangat belajar dandiakhiri dengan berdoa.
  • Pertemuan 2 : DERET GEOMETRIPENDAHULUAN (5 Menit)
    • Doa; absensi; menyampaikan tujuanpembelajaran; dan menyampaikan penilaian hasil pembelajaran

    Memotivasi murid untuk tercapainya kompetensi dan karakter yang sesuai dengan Profil Pelajar Pancasila; yaitu 1) beriman, bertakwa kepada Tuhan Yang Maha Esa, dan berakhlak mulia, 2) mandiri, 3) bernalar kritis, 4) kreatif, 5) bergotong royong, dan 6) berkebinekaan global, yang merupakan salah satu kriteria standar kelulusan dalam satuan pendidikan.

    KEGIATAN INTI (80 Menit)

    Deret Geometri

    Eksplorasi 2.6 Jumlah Pasien Terinfeksi Covid-19

    Di suatu kota tercatat peningkatan yang signifikan dari jumlah pasien yang terinfeksi Covid-19. Berikut data yang dihimpun dari Gugus Covid-19 kota tersebut.

    Tabel 2.4 Jumlah Pasien Terinfeksi Covid-19 dalam Waktu 5 Bulan

     

    Jawablah pertanyaan di bawah ini terkait data pada tabel 2.4.

    • Apakah jumlah pasien membentuk barisan bilangan?
    • Berapa beda atau rasio dari barisan di atas?
    • Terdiri dari berapa suku barisan tersebut?
    • Guru mengarahkan muriduntuk memahami rumus jumlah n suku pertama deret geometri melalui eksplorasi 2.6. Diawali dengan menjawab pertanyaan terkait dengan data pada Tabel 2.4.
    • Apakah jumlah pasien membentuk barisan bilangan? Ya.
    • Berapa beda atau rasio dari barisan di atas? Rasio = 3
    • Terdiri dari berapa suku barisan tersebut? Terdiri dari 5 suku.

    Tabel 2.4 Proses Menemukan Kembali Rumus Jumlah Deret Geometri

    	1	2	3
    S2 : jumlah pasien dua bulan pertama
    S3 : jumlah pasien tiga bulan pertama
    S4 : jumlah pasien empat bulan pertama

    • Dari tabel tersebutGuru membimbing murid dalam menemukan kembali rumus jumlah n suku pertama deret geometri.

    Deret Geometri Tak Hingga

    Eksplorasi 2.7 Panjang Lintasan Bola

    Bola tenis dilemparkan ke atas setinggi 1 m. Bola tersebut akan terus memantul sampai akhirnya berhenti. Setelah dicermati, setiap kali bola memantul, tingginya menjadi  kali dari tinggi pantulan sebelumnya. Kira-kira berapa panjang lintasan bola dari awal memantul sampai berhenti? Ayo bereksplorasi dengan melakukan percobaan melempar bola bersama teman kelompokmu, lalu jawablah pertanyaan di bawah ini.

    • Menurutmu, apakah tinggi pantulan bola pada permasalahan di atas membentuk deret geometri? Bagaimana kalian mengetahuinya?
    • Setelah melakukan percobaan, apakah kalian mengetahui dengan pasti berapa kali bola memantul sampai akhirnya berhenti?KEGIATAN PENUTUP (5 Menit)
      • Murid dan guru menyimpulkan pembelajaran hari ini.
      • Refleksi pencapaianmurid/formatif asesmen, dan refleksi guru untuk mengetahui ketercapaian proses pembelajaran dan perbaikan.
      • Menginformasikan kegiatan pembelajaran yang akan dilakukan pada pertemuan berikutnya.
      • Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan dan motivasi tetap semangat belajar dandiakhiri dengan berdoa.

1. Tuliskan dua suku berikutnya dari barisan bilangan di bawah ini.

Pertanyaan singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soal nomor 1.

• Apakah barisan di atas merupakan barisan geometri atau aritmetika?

Bagaimana kalian mengetahuinya? Lalu, tentukan dua suku berikutnya dari barisan di atas.

• Jika bukan keduanya, maka aturan apa yang ada pada barisan bilangan tersebut? Ayo diskusikan dengan teman kelompokmu.

2. Tentukan suku ke-10 dari barisan 64, 32, 16, 8, ….

Pertanyaan singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soal nomor 2.

• Berapa rasio pada barisan tersebut?
• U_n= ar^n-1

Maka, suku ke-10 = U₁₀ = … … … … …

3. Jika diketahui barisan geometri dengan suku ke-2 = 80 dan suku ke-6 = 5.

Tentukan tiga suku pertama dari barisan geometri tersebut.

RUBRIK PENILAIAN INDIVIDU

PERTEMUAN 2

1. Tentukan suku ke-10 dan jumlah 10 suku pertama dari deret berikut:
2. 4 + 2 + 1 + …
3. 25 + 5+ 1 + …
4. Penambahan jumlah pasien yang terjangkit virus Covid-19 di suatu kota melonjak dua kali lipat di tiap minggunya. Berdasarkan data yang di rumah sakit, pada minggu pertama terdapat 24 orang yang dinyatakan positif. Pada minggu ketiga, tercatat 96 pasien positif Covid-19. Berapa total jumlah pasien pada bulan kedua?
5. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 8 meter. Apabila ketinggian yang dicapai saat memantul tiga perlima kali tinggi sebelumnya, tentukan panjang lintasan yang dilalui bola tersebut hingga berhenti memantul.LAMPIRANLKPD 1
   1. Suku pertama dan rasio dari suatu deret geometri berturut-turut adalah 9 dan 3.

   Tentukan banyak suku jika diketahui jumlah deret bilangan tersebut adalah 9.837.

   Petunjuk singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soal nomor 2.

   • Dari soal, diketahui:

   a = … r = … Sn = …

   • Dengan tiga informasi di atas, maka dapat ditentukan n = …

   2.Pertambahan penduduk di suatu desa setiap tahunnya membentuk barisan geometri. Pada tahun 2021, penduduk bertambah sebanyak 10 orang, lalu pada tahun 2023 sebanyak 90 orang. Berapa jumlah pertambahan penduduk pada tahun 2025?

   3.Sisipkan 5 bilangan di antara 3 dan 192 agar susunan bilangan tersebut membentuk barisan geometri.

   LKPD 2

   1. Suku pertama suatu deret geometri tak hingga adalah x. Tentukan x yang memenuhi sehingga jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 10.

   Petunjuk singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soal nomor 1.

   • Soal di atas hanya berisi informasi yaitu S∞ = 10.
   • Karena S∞ = 10 maka deret geometri tak hingga yang dimaksud pada soal adalah deret geometri tak hingga konvergen.
   • Hubungkan rumus jumlah deret geometri tak hingga dengan syarat rasio pada deret konvergen.
   2. Agar deret geometri 1 + (m – 1) + (m -1)2 + (m – 1)3 + …. merupakan deret konvergen, tentukan nilai m.

   Petunjuk singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soal nomor 2.

   • Tentukan terlebih dahulu rasio dari deret tersebut.
   3. Tentukan jumlah deret geometri tak hingga 4 + 12 + 36 + 108 + …

   Petunjuk singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soal nomor 3.

   • Selidiki terlebih dahulu, deret geometri tak hingga tersebut merupakan deret konvergen atau divergen.
   • Tentukan S∞.